矩

统计学中的含义

概率 p(x) 和自变量 x 的积分，不同阶的矩有不同的意义。

整体上的含义：对一个概率分布，在不同以 x 为底的指数下，对重尾分布的厌恶程度。

公式表示

$${\mu }_k={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{k}p(x)dx$$

• k 为偶数，期望值为零
• 我的理解：对概率 p(x) 的积分，并且对积分做 x 的 k 次方的加权

ref: 统计学中矩的理解 - 清园索道

不同矩的意义

名称	表示形式	含义
样本矩	$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$	近似估计，假设所有情况概率相同
一阶原点矩	${\sum }_{i=1}^n{p}_i{x}_i$	期望，加权均值
二阶原点矩	${\sum }_{i=1}^n(p_i{x}_i{)}^2$
一阶中心距	${\sum }_{i=1}^n{p}_i(x_i-\mu )$	任何随机变量的一阶中心距都是0
二阶中心距	${\sum }_{i=1}^n{p}_i(x_i-\mu {)}^2$	方差
三阶中心距	${\sum }_{i=1}^n{p}_i(x_i-\mu {)}^3$	偏度
四阶中心距	${\sum }_{i=1}^n{p}_i(x_i-\mu {)}^4$	峰度

矩的含义：当 x 急剧增大的时候概率 P 是否存在上界

ref: 概率论中，「矩」（moment）的实际含义是什么？高阶矩表示数据的哪些状态？ - 知乎