欧拉公式-复分析

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• “上帝公式”(欧拉公式)真的神到无法触碰？ - 知乎

将三角函数和复指数函数产生关联的公式

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

• e 自然常数，i 表示虚数

简化，当 $x=\pi$ 时

$$e^{i\pi }+1=0$$

理解

欧拉公式的左右两侧，都可以理解为在一个圆上的位置运动。

右侧：在复平面上的圆周运动

$\cos x+i\sin x$ 表示一个复数向量，向量指向一个圆周运动。

左侧

自然底数 e 的理解：在增长率为 100% 的连续复利的增值之后的最终结果。

增长概念：

$Q=e^{rate\cdot time}$

• Q 总增长倍数
• rate 单位时间的增长率
• time 单位时间的数量

例如 $e^{\ln (3)\cdot 1}=3$ 表示增长率为 $\ln (3)=1.1$ 时的连续复利增长，在单位时间为 1 之后为增长 3 倍。

复平面的增长：

• 实数轴上的增长为当前向量方向的增长
• 虚数轴上的增长永远为 90 度方向上的增长

虚数的复平面的增长：

所以，在复平面的增长中，始终可以看成将复平面向量在 90 度方向上的转向变化。

• 虚部的方向为实部的 90 度垂直夹角方向
• 因为这是一个 $n\to \infty$ 的极限问题，所以可以看作是实部的长度为定长，虚部的增长即为向量在 90 度方向上的持续转动

将自然底数加入复数指数时，得到

$$e^i=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{100\%\cdot i}{n}\right)}^n$$

复数模长：实部和虚部的平方根 转向角度：虚部除以实部的 arctan

令 n 趋近于无穷，就得到模长的增长率为 1 ，角度增量为 1/n ，最终角度为 1，表示为 1 弧度的向量偏转。

得到：

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

如果在时间轴上的呈现，即为：